Paradigm 최신 연구: 예측 시장 전용 통합 자동 시장 제조자 pm-AMM

2024.11.07

Paradigm 최신 연구: 예측 시장 전용 통합 자동 시장 제조자 pm-AMM

AMM과 그 전신(예: 시장 평점 규칙)은 처음에 예측 시장에 유동성을 제공하기 위한 방식으로 고안되었다.

2024.11.07 - 11:53:56

pm-AMM做市商预测

Web3 심층 보도에 집중하고 흐름을 통찰

AMM과 그 전신(예: 시장 평점 규칙)은 처음에 예측 시장에 유동성을 제공하기 위한 방식으로 고안되었다.

저자: Ciamac Moallemi, Dan Robinson, Paradigm

번역: Yangz, Techub News

서론

본문에서는 예측 시장에 특화된 새로운 형태의 자동화 마켓메이커(AMM)인 pm-AMM을 소개한다.

AMM과 그 전신인 시장 점수 규칙(MSR)은 원래 예측 시장에 유동성을 제공하기 위한 방식으로 고안되었다. 현재 이들은 대부분의 DEX 거래량을 주도하고 있다. 그러나 아이러니하게도 예측 시장의 거래량이 급증하고 있음에도 불구하고, 그 중 상당수는 여전히 AMM보다는 오더북 방식을 사용하고 있다.

그 이유 중 하나는 기존 AMM들이 결과 토큰(result token)에 적합하지 않기 때문일 수 있다. 결과 토큰이란 특정 사건 발생 시 1달러의 가치를 가지며, 그렇지 않을 경우 0달러의 가치를 갖는 토큰이다. 이러한 토큰의 변동성은 사건의 현재 확률과 예측 시장 만기 시간에 따라 달라지므로, 자산 풀이 제공하는 유동성이 일관되지 않게 된다. 예측 시장이 만기되면 유동성 제공자(LP)는 본질적으로 모든 가치를 잃게 된다.

이에 따라 우리는 이러한 요소들을 고려해 최적화된 새로운 형태의 AMM을 제안하며, AMM 연구에서 오랫동안 제기된 문제인 "특정 유형의 자산에 대해 AMM을 어떻게 최적화할 것인가?"라는 질문에 답하려 한다. 즉, 옵션, 채권, 스테이블코인 또는 결과 토큰과 같은 특정 자산 모델이 주어졌을 때, 그것이 우리가 사용하는 AMM 설계에 어떤 영향을 미치는가? 우리는 손실 대 재조정(LVR, Loss vs Rebalancing) 개념을 기반으로 이 질문에 대한 가능성을 제시한다.

연구 성과

우리는 일부 결과 토큰의 가격 변동에 대한 모델을 구축하였으며, 이를 '가우시안 스코어 다이나믹스(Gaussian score dynamics)'라고 명명하였다. 이 모델은 농구 경기의 득점 차이, 선거의 표차, 혹은 특정 자산 가격 등과 같은 기본적인 확률 과정이 미래 특정 만기 시점에 특정 값을 초과할지를 예측하는 예측 시장에 적용될 수 있다.

이 모델을 활용하여 이러한 토큰을 위한 새로운 불변형(invariant-based) AMM을 도출하였으며, 이를 정적 pm-AMM 불변식이라 한다:

여기서 x는 결과 토큰의 AMM 내 예비량(reserves), y는 그 반대 및 보완적 결과 토큰의 예비량, L은 전체 유동성 혹은 비율 계수, φ와 Φ는 각각 정규분포의 확률밀도함수(PDF)와 누적분포함수(CDF)를 의미한다.

상기 불변식은 LVR(Loss vs Rebalancing)이라는 강력한 개념에 기반한다. LVR은 정보를 가진 아비트리저(arbitrageur)들에 의해 AMM이 입는 손실 비율로 볼 수 있으며, 이는 AMM의 형태와 해당 자산의 가격 움직임에 따라 달라진다.

우리는 특정 자산에 대해 균일한(uniform) AMM을 다음과 같이 정의한다. 즉, 그 자산에 대해 사용되었을 때, 현재 가격이 어떠하든 간에 LVR이 해당 시점의 포트폴리오 가치에 항상 일정한 비율로 유지되는 AMM을 말한다. Milionis 등에 따르면, 가격이 기하 브라운 운동(GBM)을 따르는 자산(주식 및 암호화폐 등 일반 자산)의 경우, 일정 기하 평균 마켓메이커(Uniswap 및 Balancer 등)만이 유일한 균일 AMM이며, 정적 pm-AMM은 우리가 제안한 결과 토큰의 가우시안 스코어 다이나믹스를 따르는 자산에 대한 균일 AMM이다.

정적 pm-AMM은 모든 가격 수준에서 균일한 LVR(포트폴리오 가치 대비)을 가지지만, 예측 시장의 만기일이 가까워짐에 따라 LVR은 여전히 증가한다. 이는 예측 시장이 만기 직전 매우 불안정해질 수 있기 때문이다. 따라서 pm-AMM을 조정하여 만기까지 남은 시간 동안 예상 LVR이 일정하게 유지되도록 하기 위해, 우리는 만기까지 남은 시간 T-t에 의존하는 동적 pm-AMM 불변식을 도출하였다:

동적 pm-AMM은 유동성을 지속적으로 감소시키는 메커니즘을 통해 만기 임박 시 LVR 증가를 방지한다. 그러나 실제 풀에서는 반드시 바람직하지 않을 수 있는데, 특히 비아비트리지(non-arbitrage) 거래 활동(그로 인한 수수료 수익)이 시간이 지남에 따라 오히려 증가할 수 있기 때문이다. 하지만 pm-AMM은 유동성 제공자가 예상 수수료 수익과 아비트리지 리스크 배분 방식에 따라 유동성을 조절할 수 있는 프레임워크를 제공한다.

이러한 AMM은 체인상 예측 시장에 수동적 유동성을 유도하는 데 도움이 될 수 있다. 균일 AMM의 개념과 관련 방법론은 또한 기하 브라운 운동 외의 가격 움직임을 따르는 다른 자산—예컨대 스테이블코인, 채권, 옵션 또는 기타 파생상품—에 맞춘 AMM을 설계하고자 하는 DEX 설계자들에게도 널리 적용될 수 있다.

그림 1은 정적 및 동적 pm-AMM의 불변 곡선을 보여주며, 일정 곱 마켓메이커(CPMM) 및 로그 시장 점수 규칙(LMSR)과 비교한다. 동적 pm-AMM의 예비 곡선은 시간이 지남에 따라 더 낮은 유동성을 제공함을 알 수 있다.

그림 2는 Uniswap v3 집중 유동성 AMM 상에서 정적 pm-AMM 불변식을 구현했을 경우의 '유동성 지문(liquidity fingerprint)'을 보여준다. 가로축은 상대 가격(x 토큰 가격/y 토큰 가격)의 로그 스케일이며, 세로축은 각 AMM이 해당 가격 수준에서 제공하는 유동성을 나타낸다. CPMM과 LMSR에 비해 pm-AMM은 상대 가격이 1(확률 50%, 즉 토큰 가격이 0.50)일 때 더 많은 유동성을 집중시키고, 극단적인 상대 가격(매우 낮거나 매우 높을 때)에서는 유동성을 덜 집중시킨다.

연구 배경

예측 시장

예측 시장은 암호화폐 분야에서 점점 더 인기를 끌고 있는 애플리케이션이다. 2024년 10월 한 달간 Polymarket의 거래량은 20억 달러를 초과했다. 그러나 대부분의 암호화 예측 시장은 여전히 오더북을 통해 유동성을 제공하고 있으며, 대부분의 DEX 거래량에서 우세한 AMM을 사용하지 않는다.

그 이유 중 하나는 결과 토큰의 가격 행동이 일반 자산과 다르기 때문에, 이를 위해 설계된 AMM이 안정적으로 작동하지 않기 때문이다. 예를 들어, 동전 던지기 게임에 관한 예측 시장을 생각해보자. 여기서 누군가 동전을 1001번 던지고, 앞면과 뒷면 각각에 대해 x와 y 두 종류의 토큰이 존재한다. 최종적으로 앞면이 뒷면보다 많으면 x 토큰의 가치는 1달러, 반대의 경우 0달러이며, y 토큰은 그 반대이다.

이러한 결과 토큰의 변동성은 남은 던지기 횟수와 현재 스코어에 크게 좌우된다. 현재 스코어가 근접할수록, 남은 던지기 횟수가 적을수록 토큰의 변동성은 커진다. 이는 일정 곱 마켓메이커의 손실(아래에서 설명됨)이 시간에 따라 크게 변화한다는 것을 의미한다.

그림 3은 가우시안 스코어 다이나믹스 하에서 결과 토큰 가격의 변동성이 토큰 가격과 잔여 시간의 함수로서 어떻게 변화하는지를 보여준다.

많은 인기 있는 예측 시장은 이 동전 던지기 예제와 유사하다. 즉, 미래 특정 만기 시점에 어떤 확률 과정의 종말 값이 0 이상인지 여부를 내기하는 것이다. 예를 들어:

농구 경기 결과에 대한 예측 시장은 경기 시간이 0이 되는 순간 만기된다. 여기서 확률 과정은 양 팀 간의 득점 차이이다.
대통령 선거 결과에 대한 예측 시장은 선거일에 만기된다. 여기서 확률 과정은 후보에게 투표할 유권자 수의 차이이다.
비트코인 등의 자산 가격이 미래 특정 시점에 행사가를 초과할지 여부를 내기하는 예측 시장에서는, 확률 과정을 현재 비트코인 가격에서 행사가를 뺀 값의 로그로 설정할 수 있다.

본 논문에서 정의한 결과 토큰 가격 모델인 가우시안 스코어 다이나믹스는 이러한 사례에서 영감을 받았다. 이 모델은 예측 시장 가격이 어떤 잠재적 브라운 운동이 0 이상에서 종료될 확률과 일치한다고 가정한다. 이는 자산 가격이 특정 행사가를 초과하면 고정된 달러 금액을 지급하고, 그렇지 않으면 0을 지급하는 바이너리 옵션의 Black-Scholes 모델과 유사하다. 그러나 우리의 모델에서는 잠재적 과정이 거래 가능한 자산의 가격과 일치해야 할 필요는 없다.

우리는 결과 토큰의 가격이 1달러가 될 확률과 일치한다는 단순화된 가정을 하고 있다. 이는 리스크 선호도와 시간 선호도와 같은 시장의 중요한 특성을 무시하므로, 이러한 특성들이 모델에 어떤 영향을 미치는지는 향후 연구 과제가 될 것이다.

또한 모든 예측 시장이 가우시안 스코어 다이나믹스 모델에 적합하지는 않음을 알아야 한다. 이 모델은 새로운 정보의 출현 속도가 예측 가능하다고 가정하기 때문이다. 예를 들어, 농구 경기는 득점 빈도가 훨씬 높아 득점 차이의 진전이 시간에 따라 더 일관되므로, 축구 경기보다 이 모델에 더 적합할 수 있다. 또한 지진과 같은 일회성 사건이 특정 날짜 이전에 발생할지 여부를 예측하는 예측 시장은 이 모델과 전혀 맞지 않는다. 그러나 이 모델은 다른 동역학을 위한 모델 개발의 유용한 출발점이 될 수 있으며, 임의의 모델에 대해 균일 AMM을 도출하는 방법을 보여주는 데도 유용하다.

손실 대 재조정과 균일성

이러한 모델을 명확히 한 후, 기존 AMM(CPMM 또는 LMSR 등)보다 이러한 토큰에 더 적합한 메커니즘을 도출하였다. 우리의 핵심 지표는 유동성 제공자의 예상 손실률, 즉 '손실 대 재조정(LVR)'이다.

LVR은 AMM의 주요 역선택(reverse selection) 비용을 포착한다. 거래가 없는 경우 AMM의 가격은 정적(stagnant)이며, 새로운 정보가 등장함에 따라 가격이 낙후된다. 이 낙후된 가격은 정보를 가진 아비트리저들에 의해 이용되며, 이들이 AMM에 불리한 가격으로 아비트리지 거래를 수행함으로써 LP가 비용을 부담하게 된다. 따라서 LVR은 AMM이 가격을 바로잡기 위해 아비트리저들에게 지불하는 비용으로 볼 수 있다.

또한 거래 수수료가 없는 경우, LVR은 LP 포지션을 Delta 헤지했을 때 발생하는 손실과 동일하다. 즉, AMM 내 자산 예비량과 동일한 공매도 포지션을 취했을 때 생기는 손실이다. 따라서 LVR은 Black-Scholes 옵션 가격 모델의 핵심 통찰에 기반한다. 옵션이 기초 자산과의 Delta 헤지를 통해 시장 리스크를 제거하는 것처럼, LVR은 시장 리스크를 제거한 후 AMM 내 LP 포지션의 가치를 평가한다. 즉, LVR은 단순히 AMM 예비량과 동일한 자산을 보유함으로써 생기는 시장 리스크가 아니라, AMM 내 유동성 제공자로서의 고유한 리스크를 격리한다.

우리는 수수료나 MEV 회수 메커니즘이 없는 단순한 불변형 AMM을 고려한다. 이러한 경우, AMM은 아비트리지로 인해 반드시 손실을 입게 되며, 어떤 불변식도 LVR을 완전히 제거할 수 없다(거래 자체를 발생시키지 않는 불변식을 제외하면). 또한 LVR을 '최소화'하는 것도 실질적인 의미가 없는데, 이는 LVR 감소가 곧 유동성 제공 감소를 의미하기 때문이다.

하지만 LVR을 완전히 제거할 수는 없더라도, LVR을 더 '균일하게' 만들 수는 있다. 즉, 자산의 현재 가격에 관계없이 손실되는 자산 풀 가치의 백분율이 일정하게 유지되도록 할 수 있다. 이를 우리는 '균일성(uniformity)'이라 부른다.

특정 제로 수수료 예측 시장에서 유동성을 제공하고자 하는 스폰서를 상상해보자. 이 스폰서는 돈을 잃겠지만, 특정 시간이나 특정 가격에 손실이 집중되기보다는 손실을 고르게 분배하기를 원할 것이다. 이 경우 자산 풀의 현재 포트폴리오 가치는 스폰서의 '예산'으로 간주될 수 있다. 균일한 AMM에서는 스폰서가 특정 시점에 1달러의 유동성을 투입했을 때, 다음 시점의 예상 손실이 풀의 현재 상태와 무관하게 일정하다.

또한 균일성은 수익을 추구하는 유동성 제공자에게도 잠재적 의미를 가진다. AMM이 LVR로부터 일부 수익을 회수하거나 심지어 흑자를 내는 것이 가능하다 하더라도(비영 제로 스왑 수수료 또는 MEV 세금 경매 메커니즘을 통해), 여전히 다양한 가격과 시간에 따라 유동성을 어떻게 배분할지에 대한 전략이 필요하다. 제로 수수료 풀의 예상 손실은 자산의 가격 과정을 고려한 특정 시점에 얼마나 많은 유동성을 배분할지 결정하는 지표로 볼 수 있다.

우리는 특정 자산에 대해, 현재 가격이 어떠하든 예상 LVR이 자산 풀 현재 가치의 일정 비율을 유지하는 AMM을 균일 AMM이라 정의한다. AMM이 균일한 LVR을 가지는지는 자산 자체의 가격 과정에 따라 달라진다. Milionis 등의 부록 B.2에 따르면, 자산 가격이 기하 브라운 운동을 따를 경우, 해당 자산과 관련된 본질적으로 유일한 균일 AMM은 가중 기하 평균 마켓메이커이며, 그 불변식은 다음과 같다:

이는 Balancer에서 사용되는 수식이며, Uniswap v2의 일정 곱 마켓메이커도 이의 특수한 경우이다. 그러나 가우시안 스코어 다이나믹스를 따르는 토큰의 경우, 일정 기하 평균 AMM은 균일한 LVR을 가지지 않는다. 로그 시장 점수 규칙(LMSR) 역시 마찬가지이다.

그림 4는 시간 T-t=1에서 가우시안 스코어 다이나믹스 결과 토큰에 대해 CPMM과 LMSR의 LVR을 정적 pm-AMM의 균일 LVR과 비교한 것이다.

이러한 고려 사항들에 기반하여, 우리는 예측 시장 만기일이 다가옴에 따라 LVR이 증가하지만 모든 주어진 시점에서 균일한 LVR을 가지는 AMM, 그리고 잔여 시간 동안 균일한 LVR과 일정한 예상 LVR을 가지는 AMM, 두 가지를 개발하였다.

그림 4에서 결과 토큰 가격이 0 또는 1에 가까운 극단적 상황일 때 CPMM과 LMSR이 큰 LVR을 보이는 것을 확인할 수 있다. 이는 이러한 지점 근처의 가격 변동성이 낮음에도(그림 3 참조), 극단적 가격에서 자산 풀 가치의 감소 속도가 더 빠르기 때문이다. 따라서 균일한 AMM은 극단적 가격에서 더 적은 유동성을 제공해야 하며, 이것이 바로 pm-AMM 설계가 이루는 바이다(그림 2 참조).

기존 연구

AMM은 예측 시장과 시장 점수 규칙(예: LMSR)에서 기원하였다. 이러한 규칙들은 일정 함수 마켓메이커(CFMM)의 발견을 이끌었으며, Uniswap v2와 같은 형태로, 각 자산의 예비량 사이에 불변 관계가 존재하는 것이 특징이다. 이러한 설계의 AMM은 최근 DEX의 주류 시장 메커니즘으로 자리 잡았다.

최근에는 금융경제학적 관점이 자동 마켓메이커의 비용 이해에 적용되고 있으며, 주로 기하 브라운 운동에 초점을 맞춘 LVR 형태로 나타난다. 반면 예측 시장의 가격 동역학은 수익 제한 및 기한 제한이라는 점에서 매우 다르다. Taleb은 관측 가능한 투표 과정에 기반한 동역학을 제안한 반면, 우리는 관측 가능한 가우시안 스코어 과정에 기반한 또 다른 동역학을 개발하였다.

GBM 이외의 자산에 대한 AMM 설계에 관한 응용 연구도 일부 있었다. 예를 들어 StableSwap은 스테이블코인 페어를 위한 AMM으로, 관련 자산과 평균회귀 자산 간의 AMM이 특정 가격 근처에 유동성을 밀집시켜야 한다는 직관적 전제에 기반한다. 그러나 이는 자산 가격 과정의 모델링 없이 도출되었다. 다른 예로 YieldSpace는 제로 쿠폰 채권 전용 AMM이다. YieldSpace의 도출은 단순한 제로 쿠폰 채권 가격 모델을 포함하지만, 완전한 가격 과정 모델(금리 변화 모델링)을 포함하지는 않는다.

또한 학계에서는 자산 가격 행동에 대한 믿음을 기반으로 실시간 시장 모델을 설계하려는 노력도 있었다. Goyal 등의 연구가 그 예인데, 그들의 프레임워크는 예상 활성 유동성의 극대화를 중심으로 설계되었으며, 예상 손실을 일정하게 만드는 것과는 목적이 다르므로 때때로 우리와 상반된 결론을 낸다. 예를 들어 그들은 유동성 제공자가 자산의 상대 가격이 1 근처에서 유지될 것으로 예상한다면, LMSR(CPMM에 비해 LMSR은 가격 1 근처에 유동성을 집중시킴)이 적합하다고 주장한다. 반면 우리 프레임워크는 가격이 분산될 것으로 예상될 경우(결과 토큰처럼) 1 근처에 유동성을 집중시키는 것이 정당화된다고 본다.

다양한 AMM 모델

자동 마켓메이커

단일 사건에 대한 예측 시장과 두 개의 경쟁 자산 x와 y를 거래하는 AMM을 고려할 수 있다. x 자산은 사건 발생 시 1달러를 지급하고, 그렇지 않으면 지급하지 않으며, y 자산은 반대로 지급한다. AMM은 f(x,y)=L이라는 불변식을 유지하며, 여기서 f(⋅,⋅)은 예비량 (x,y)의 불변 함수이고, L은 상수이다. x 자산의 가격 P(달러 기준)가 주어졌을 때, 자산 풀의 가치 함수는 다음과 같다:

이는 x의 가격이 P일 때 자산 풀의 가치이다. x와 y 각각 하나씩 보유하는 것은 현금을 보유하는 것과 동일하므로, y의 가격은 1-P가 되어야 한다. 일련의 아비트리저들이 각 시간 t에서 x 자산의 가격 Pt(y 자산의 가격은 1-Pt)를 관찰할 수 있다고 가정하자. 거래 수수료나 기타 마찰이 없다면, 이 아비트리저들은 지속적으로 AMM을 모니터링하며 AMM의 잘못된 가격 책정에서 가치를 추출하려 할 것이다. 자신의 이윤을 극대화하면서, AMM의 예비 가치를 최소화하도록 거래할 것이다. Vt를 t시점(가격 Pt)의 예비 가치라고 하면, Vt = V(Pt)이다.

예제 1: 일정 곱 마켓메이커(CPMM)의 경우, 불변식은 f(x,y)≜xy이며, 자산 풀 가치 함수는 다음과 같다:

예제 2: Robin Hanson이 고안한 로그 시장 점수 규칙(LMSR)은 다음 불변식을 만족하는 AMM으로 간주할 수 있다.

자산 풀 가치 함수는 다음과 같으며(가격이 암시하는 사건의 이진 엔트로피에 비례함):

x∗(P)와 y∗(P)를 최적화 문제 (1)의 최적해라 하면, 이 해들이 존재하고 유일하며 가격 P의 충분히 매끄러운 함수라고 가정할 때, 다음 공식은 Milionis 등의 정리 1과 유사하지만 현재 환경에 적용된다:

정리 1. 모든 가격 P≥0에 대해, 자산 풀 가치 함수는 다음을 만족한다:

가우시안 스코어 다이나믹스

위험 자산 가격은 우리가 말하는 가우시안 스코어 다이나믹스에 따라 시간이 지남에 따라 어떻게 진화하는가? 구체적으로, t∈[0,T] 구간에서 Zt라는 확률 과정이 존재하며, 사건은 Zt가 t=T에서 종료될 때의 부호에 의해 결정된다: 만약 ZT≥0이면 x 자산이 지급되고, ZT<0이면 y 자산이 지급된다. Zt를 양 팀 간의 득점 차이라고 이해할 수 있다. 따라서 우리는 Zt를 즉시 득점 과정이라 부를 것이다. 모델은 이 스코어 과정이 존재한다고 가정하지만, AMM이 이 과정을 직접 관찰할 필요는 없다는 점에 유의하자. 아래에서 설명하듯, AMM은 한계 가격(아비트리지 후)과 만기 시간을 기반으로 현재 스코어 값을 추론할 수 있다.

Zt는 확률적 변동을 따른다고 가정한다. 구체적으로, Zt가 변동성 σ>0인 브라운 운동, 즉 dZt=σdBt라고 가정하며, Bt는 표준 브라운 운동이다. 그러면 x 자산의 시간 t에서의 가격 Pt는 다음과 같다:

여기서 Φ(⋅)는 표준 정규 누적분포함수(CDF)이다. Itô 정리를 적용하면, Pt는 다음을 만족해야 한다:

여기서 ϕ(⋅)는 표준 정규 확률밀도함수(PDF), Φ-1(⋅)는 역 CDF이다. 스코어 다이나믹스와 스코어-가격 변환 또는 그 역변환은 σ에 의존하지만, 고립된 가격 과정 Pt의 다이나믹스는 σ에 의존하지 않는다는 점에 유의하라. 이러한 다이나믹스의 변동성은 가격과 잔여 시간의 함수로서 그림 3에 나와 있다.