왜 도박사 마인드는 결국 모든 것을 잃을까? 비가역성 시스템 속 생존 법칙
저자: 설아, DataCafe
당신이 1,000원의 초기 자금을 가지고 동전 던지기 도전 게임에 참가한다고 상상해 보세요. 이 게임은 원할 때까지 계속할 수 있습니다.
매 라운드마다 동전을 한 번 던집니다.
앞면이 나오면 재산은 80% 증가합니다.
뒷면이 나오면 재산은 50% 감소합니다.
듣기만 해도 손해볼 것 없는 게임처럼 보입니다!
하지만 현실은…
10만 명의 플레이어가 이 게임에 참여하여 각각 100라운드를 진행한다면, 그들의 평균 부는 실제로 지수적으로 증가하지만, 대부분의 사람은 결국 72원에도 미치지 못하고 파산하게 됩니다.
왜 평균 부는 늘어나는데, 개인들은 점점 더 가난해질까요?
이것이 바로 전형적인 비遍历성(ergodicity) 함정입니다. 다음 판에서 반드시 승리할 수 있다는 생각은 바로 우리가 집단의 평균을 마치 개인의 운명인 양 착각하기 때문입니다.
비遍历성의 함정: 장기 평균 ≠ 당신의 실제 운명
과연 '遍历성(Ergodicity)'이란 무엇일까요?
'遍历성'이라는 개념은 최초로 통계물리학에서 등장했으며, 확률론, 금융, 행동과학, 머신러닝 분야에서도 깊은 영향을 미쳤습니다. 핵심적으로 묻는 질문은 바로 "장기 평균값이 과연 개인에게 적용될 수 있는가?" 하는 것입니다. 우리는 의사결정을 할 때 ‘장기 평균’을 믿어야 할까요, 아니면 매번 경험하는 ‘현실’을 믿어야 할까요?
19세기 물리학자 루드비히 볼츠만(Ludwig Boltzmann)은 기체 분자의 운동을 연구하면서 '遍历성 가설'을 제안했습니다. 충분히 오랜 시간 관찰하면 하나의 기체 분자는 가능한 모든 상태를 거친다는 것이죠.
밀폐된 기체 용기를 생각해보세요. 무수한 기체 분자들이 충돌하며 서로 다른 속도 궤적을 겪고 있습니다. 단일 분자의 장기 궤적과 전체 기체의 통계적 분포가 일치한다는 뜻이며, 이는 특정 순간 모든 분자의 상태를 통해 개별 분자의 장기 궤적을 추정할 수 있음을 의미합니다.
이것이 바로 유명한 볼츠만의 '遍历성 가설'입니다.
수학적으로, 遍历성은 다음과 같은 의미를 갖습니다:
좌측은 시간 평균(time average): 충분히 긴 시간 동안 한 개인이 동일한 과정을 반복할 때 얻는 평균 결과를 설명합니다.
우측은 집단 평균(ensemble average): 특정 시점에서 무수한 개체를 관찰하여 얻은 통계적 기대값을 의미합니다. 즉, 시스템이 遍历성 조건을 만족하면, 개별자의 행동은 결국 집단의 ‘장기 평균’으로 수렴합니다.
만약 세상이 遍历적이라면, 모든 사람의 부는 결국 사회 평균 부 수준에 수렴할 것입니다. 遍历적인 세계에서는 누구나 풍요와 빈곤, 성공과 실패 등 모든 가능한 경제 상태를 경험하게 되며, 개인의 운명은 필연적으로 집단의 ‘장기 평균’에 귀결됩니다.
하지만 현실은 대개 비遍历적입니다. 개인의 자원은 제한적이며, 모든 가능한 경로를 경험하기 전에 이미 한 번의 실패로 인해 탈락할 수 있습니다.
우리는 종종 이런 유도성 발언들을 듣곤 합니다.
"어느 산업의 평균 연봉은 백만 원을 넘는다."
"누군가는 30세에 재정적 자유를 달성했고, 창업은 고작 2년밖에 안 걸렸다."
"어느 지수 펀드는 장기적으로 연평균 수익률이 매우 높으니 꾸준히 투자하면 부자가 된다."
…
이처럼 합리적으로 보이는 통계 데이터들은 마치 확실한 진실을 알려주는 듯합니다. 마치 행동만 하면 장기 평균 수익이 개인에게도 적용될 것 같지만, 이러한 사례들은 모두 경로 의존적이며 복제 불가능한 비遍历적 과정에 해당합니다. 모방자는 동일한 역사적 배경, 인간관계 네트워크, 운의 전환점 등을 겪을 수 없으며, 숨겨진 실패자들의 수조차 알지 못합니다.
데이터는 집단의 장기 평균을 알려주지만, 현실은 짧은 기간 내의 ‘절벽식 붕괴’로 가득 차 있습니다.
이것이 바로 비遍历성이 가진 가장 은밀한 함정입니다 — 빅데이터 통계의 평균값 ≠ 개인의 실제 운명.
개인에게 있어 한 번의 붕괴는 돌이킬 수 없을 수도 있으며, 한 번의 실패로 완전히 탈락하여 다시 ‘평균 상태’로 돌아올 수 없습니다. 우리 각자의 인생 여정은 단 한 번뿐이며, 카지노처럼 무수한 도박꾼들 사이에서 확률이 평균화되는 집단의 장기 평균을 누릴 수 없습니다.
왜 개인의 장기 운명은 대부분 ‘평균값’보다 나쁠까?
비遍历적 시스템에서 개인의 장기 성과는 종종 집단 평균보다 낮습니다. 이것은 우연이 아니라 구조적인 특징입니다. 화려한 평균값은 극소수의 창업 성공, 투자로 큰돈을 번 사람들, 역전승한 사례들에 의해 끌어올려지며, 더 많은 실패자들은 통계에 포함되지도 않습니다.
현실의 시스템은 대부분 곱셈형(multiplicative)이며 경로 의존적(path-dependent) 특성을 가집니다. 예를 들어 복리 투자, 건강 악화, 명성의 손상 등이 그러합니다. 이러한 시스템의 전형적인 특징은 상방은 제한적이고, 하방은 바닥이 없다는 것입니다.
한 번의 파산은 인생을 망칠 수 있습니다.
한 번의 잘못된 결정이 운명을 완전히 바꿀 수 있습니다.
한 번의 신뢰 위반이 신뢰를 완전히 무너뜨릴 수 있습니다.
반면, 벌 수 있는 부, 상승하는 실적, 쌓이는 우위는 언제나 제한적입니다.
그래서 수학적으로, 곱셈형 과정의 장기 성장률은 ‘평균 수익률’과 같지 않으며, 오히려 다음 값에 가깝습니다.
반면, 집단 평균은 일반적으로 산술평균을 사용합니다.
로그 함수는 엄격한 오목함수이므로, 젠센 부등식(Jensen's inequality)에 따라 다음이 성립합니다.
따라서 곱셈 시스템의 장기 성장률(즉 기하평균)은 항상 산술평균보다 작습니다. 변동성이 클수록 이 격차는 더욱 두드러집니다. 산술평균은 ‘영원히 운이 좋다면 어떻게 될까’를 말해주고, 기하평균은 ‘실제 세상에서 풍파를 겪은 후에 남는 것이 얼마인가’를 알려줍니다.
이는 곧개인의 장기 성과가 ‘집단 평균 수익’보다 항상 훨씬 낮은 것은 운이 나빠서가 아니라 구조 때문이라는 것을 의미합니다.
최적의 의사결정을 위해 어떻게 해야 할까? 켈리 공식의 황금 비율
그렇다면 인생의 선택에서, 어떻게 해야 장기 게임에서 제로로 귀결되는 운명을 피할 수 있을까요? 파산하지 않으면서도 장기 복리를 실현하려면 어떻게 해야 할까요?
정답은 이렇습니다. 절대로 All-in하지 말고, 켈리 베팅(Kelly betting)을 배우세요!
켈리 기준(Kelly Criterion)은반복 게임에서 최적의 베팅 전략으로, 장기 수익을 극대화하면서도 단기적으로 자본을 잃고 탈락하는 것을 방지하는 것을 목표로 합니다. 이는 존 켈리(John L. Kelly Jr.)가 1956년 벨연구소에서 처음 제안한 것으로, 원래는 ‘잡음이 있는 통신 채널에서 신호 전력을 어떻게 배분해야 정보 전송 효율을 극대화할 수 있는가’라는 문제를 해결하기 위한 것이었습니다.
이후 이 이론은 금방 다른 분야로 확산되었습니다.
미국의 수학자이자 투자 천재 에드워드 소프(Edward Thorp)는 켈리 공식이 부의 성장 경로를 최적화할 수 있다는 것을 발견했습니다. 그는 이를 카지노로 가져가 『딜러를 이겨라(Beat the Dealer)』에서 처음으로 이를 활용해 블랙잭 딜러를 체계적으로 이겼고, 이후 월스트리트로 옮겨 『시장을 이겨라(Beat the Market)』에서 계속해서 ‘수확’했습니다.
이 기준은 본질적으로 로그 기대 수익(log-utility)을 극대화하는 것과 동치이며, 성장과 리스크 사이의 동적 균형을 유지합니다. 이를 통해 당신이 ‘오래 생존하는 것’과 ‘충분히 벌 수 있는 것’ 사이에서 최적의 균형점을 찾도록 도와줍니다.
켈리 공식:
여기서 성공 확률은 p, 실패 확률은 q = 1-p이며, 성공 시 수익 배율(b)은 원금을 포함하지 않은 순수익 배율을 의미하고, 실패 시 손실 비율 a는 일반적으로 1입니다(베팅 금액 전체를 잃는 경우).
처음 언급한 동전 던지기 게임으로 돌아와서, 당신은 일정 비율의 자본을 걸고 계속 플레이할 수 있지만, 매번 얼마를 베팅하는 것이 가장 합리적일까요?
즉, 켈리 공식은 당신이 매번 총 자산의 37.5%를 투입하라고 조언합니다. 너무 많이 걸면, 우위가 있더라도 몇 번의 연속 실패로 바로 붕괴될 수 있고, 너무 적게 걸면 본래 얻을 수 있었던 성장을 놓치게 됩니다.
켈리 공식의 의미는 바로 장기적으로 가장 많이 벌면서도 살아남을 수 있는 지점을 찾는 것에 있습니다.
덧붙이자면, 켈리 공식은 승률과 승배율에 매우 민감하지만, 현실에서는 이러한 파라미터들이 불확실하거나 동적으로 변화하기 때문에, 많은 안정적인 실천자들은 켈리 권장치의 절반만 사용하는 ‘반켈리 전략(half-Kelly strategy)’을 선택해 보다 부드러운 수익 곡선을 추구합니다.
시뮬레이션 실험: 10만 명이 동전 던지기 도박을 한다면, 얼마나 많은 사람이 ‘살아남을’까?
다양한 베팅 전략이 개인의 운명에 어떤 영향을 미치는지를 직관적으로 이해하기 위해, 저는 10만 명의 플레이어가 앞서 언급한 동전 던지기 게임에 참여하는 시뮬레이션을 수행했습니다. 총 200라운드 동안 각 플레이어는 독립적으로 게임을 진행했습니다.
게임 규칙은 여전히 같습니다: 초기 자본 1,000원, 앞면은 +80%, 뒷면은 -50%. 플레이어는 고정된 베팅 비율을 선택할 수 있습니다. 예를 들어 전체 자산(100%)을 걸거나, 65%, 37.5% 등입니다.
결과는… 100% 베팅한 플레이어들은 거의 전멸했습니다!
최종 자산은 ‘멱법칙 분포(power-law distribution)’를 나타내며, 극소수의 부자만이 등장하고 대부분의 플레이어는 파산했습니다.
다음 4가지 베팅 전략의 플레이어 자산 분포를 비교해보겠습니다. 자산 분포가 오른쪽으로 갈수록 자산이 높은 사람을 의미합니다.
a. 100% 베팅: 거의 모든 사람이 파산
전액 베팅 전략 하에서 최종 자산 분포는 왼쪽에 거대한 빈곤 피크와 오른쪽에 매우 가는 부자 꼬리 구조를 가집니다. 대부분이 파산하고, 극소수가 모든 돈을 가져갑니다. 이것이 바로 게임의 비대칭성 + 생존자 편향(survivorship bias)이 현실에서 드러나는 모습입니다.
b. 65% 베팅: 여전히 양극화되고, 많은 사람이 파산
c. 37.5% 베팅 (켈리 공식): 부가 안정적으로 증가
켈리 베팅 전략 하에서 자산 분포는 명확히 오른쪽으로 이동하며, 대부분의 사람들의 자산이 증가하고 분포가 집중됩니다. 이는 최적의 부 축적 모델입니다.
d. 10% 베팅: 거의 파산 없지만 수익이 너무 낮음
전액 베팅과 같은 파산 분포의 급상승은 사라졌지만, 전체적으로 자산이 저자산 구역에 집중되어 있습니다. 반면, 37.5% 전략은 오른쪽에 명확한 장기 꼬리를 형성하며 자산의 배가 가능합니다.
켈리 베팅은 ‘대부분의 경우 파산하지 않는 것’과 ‘상당한 가치 증가’를 동시에 달성하는 유일한 전략이며, 수학적으로 최적의 장기 생존 전략입니다. 이것이 바로 켈리 공식의 정수입니다. 가장 많이 이기게 해주는 것이 아니라, 충분히 오래 살아남도록 보장해주는 것입니다.
켈리 공식이 주는 삶의 철학
켈리 공식은 우리에게 장기적인 성공 비결은 ‘베팅 비율’을 조절하는 법을 아는 것이라고 말해줍니다. 인생은 누가 한 번의 강력한 공격을 맞히는지를 경쟁하는 것이 아니라, 누가 계속해서 게임을 이어갈 수 있는지를 겨루는 것입니다.
직업에서는 열정만 믿고 무작정 그만두는 것도, 편안한 곳에 머무르는 것도 아니라, 지속적으로 포석을 깔고 능력을 키우며, 새로운 길로 전환할 용기를 갖고, 선택의 여지를 남기는 것입니다.
투자에서는 한 번에 큰돈을 노리는 것이 아니라, 승배율에 따라 포지션을 조절하며 자본을 유지하는 것입니다.
관계에서는 모든 감정과 가치를 한 사람에게만 맡기는 것이 아니라, 투자하면서도 자기 자신을 지키는 것입니다.
성장과 자기관리에서는 한 번의 폭발적인 노력으로 변화를 얻는 것이 아니라, 안정적이고 복리적인 방식으로 삶의 구조를 지속적으로 최적화하는 것입니다.
인생은 마치 긴 여정과 같은 게임입니다. 당신의 목표는 한 번 이기는 것이 아니라, 탈락하지 않고 계속해서 게임을 이어가는 것입니다. 탈락하지 않는 한, 반드시 좋은 일이 생깁니다.
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