前言

在去年 6 月份，我設想了用多因子模型去擇幣的簡單構思。

一年後，我們已經著手研發針對加密資產市場的多因子策略，並把整體的策略框架寫成系列的文章《用多因子策略構建強大的加密資產投資組合》。

本系列的大體框架如下（不排除微調的可能）：

一、多因子模型理論基礎

二、單因子構建

• 因子數據預處理

  • 數據篩選

  • 異常值處理：極值、錯誤值、空值

  • 標準化

  • 中性化：行業、市場、市值

• 因子有效性判斷

  • 信息比率 IC、收益率、夏普比率、換手率

三、大類因子合成

• 因子共線性分析

• 正交消除因子共線性

• 經典加權方法→合成因子

  • 等權、滾動 IC 加權、IC_IR 加權

  • 合成因子的測試：收益率、分組收益率、因子值加權收益率、合成因子 IC、分組換手率

• 其他加權方法（因子與收益率存在非線性關係）：機器學習、強化學習（由於加密貨幣行業的特殊性，不考慮）

四、風險組合優化

以下是第一篇 《理論基礎篇》的正文內容。

一、“因子“是什麼

“因子”即技術分析中的“指標”、人工智能機器學習的“特徵”，是決定加密貨幣收益率漲跌的原因。

我們團隊把加密貨幣領域常見的因子類型：基本面因子、鏈上因子、量價因子、衍生品因子、另類因子和宏觀因子。

挖掘和計算“因子”的最終目的是為了準確計算資產的預期收益率。

二、“因子”的計算

（1）多因子模型的推導

起源：單因子模型——CAPM

因子研究可追溯於 20C60S，資本資產定價模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）問世，該模型量化了風險如何影響一個公司的資本成本從而影響預期收益率。根據 CAPM 理論，單個資產的預期超額收益可由以下的一元線性模型決定：

E(Ri）是數學期望， Ri 為資產的收益率，Rf 為無風險收益率， Rm為市場組合的收益率，βi = Cov(Ri,Rm)/Var(Rm)體現資產收益對市場收益的敏感程度，也稱資產對市場風險的暴露程度。

補充理解：

1. 金融市場中，所談及的“風險”和“收益”本質是同類東西。

2. 從統計學角度，更詳細的理解 βi

CAPM 可看成是無截距項的雙變量回歸模型  Yi = β1 + β2 · X (β1 = 0)，利用普通最小二乘估計法（OLS）求出模型參數的估計值，其中β1 = β2 = Σ(X-μX)(Y-μY)/ Σ(X-μX)² = Cov(X,Y)/Var(X) 。

β1衡量解釋變量（市場收益率）變動以單位，被解釋變量（資產 i 的收益率）平均變動的程度，金融領域將該變動程度解釋為 Y 對 X 的“敏感”或“暴露”程度。

β>1 放大市場波動

β = 1與市場波動完全相同

0<β<1與市場同向波動，但比市場波動小

β≤ 0 與市場反向波動

1.從金融學風險和收益的角度，更詳細的理解βi

投資組合有兩類風險，系統性風險（即市場風險、不可抵消風險）和非系統性風險（可抵消風險）。 βi 是系統性風險，無論如何構造資產組合，該風險是該系統特有的，無法抵消。下文提及的 αi 則是非系統性風險，可通過構造不同的策略來對沖掉。

CAPM 模型是最簡單的線性因子模型，指出資產的超額收益只由市場 組合（市場因子）的預期超額收益和資產對市場風險的暴露大小決定。該模型為後續大量線性多因子定價模型的研究奠定基理論礎。

發展：多因子模型——APT

在 CAPM 基礎，人們發現不同資產的收益率受多個因子影響，套利定價理論（Arbitrage Pricing Theory, APT）問世，構建線性多因子模型：

其中，E(Ri) 表示資產 i 的預期收益，λ表示因子預期收益（即因子溢價）。公式 (2) 利用 E(Ri) 代替 CAPM 模型中的 E(Ri) - Rf 來表示預期收益，利用多空對沖構建的資金中性投資組合資產，Rf 被抵消，整個資產的預期收益率就是多頭和空頭預期收益率之差，因此用 E(Ri) 表示更具一般性。

成熟：多因子模型——Alpha 收益 & Beta 收益

綜合考慮金融市場實際存在的定價誤差和 APT 模型，從時序角度上看，單個資產的預期收益率由以下的多元線性模型決定：

其中，Rᵉit 表示 t 時刻資產 i 的收益，λt 表示 t 時刻因子收益率（即因子溢價），εit 表示 t 時刻的隨機擾動。αi 表示資產 i 的實際預期收益率和多因子模型隱含的預期收益率之間的定價誤差，若統計上顯著偏離零，則代表了獲得超額收益的機會。βi = Cov(Ri,λ)/Var(λ)表示資產 i 的因子暴露或因子載荷，刻畫了資產收益對因子收益的敏感程度。

多因子模型關注資產預期收益率在截面上的差異，本質是關於均值的模型，而預期收益率是收益率在時間序列上的平均。基於 (3) ，可推導出截面角度的多元線性模型：

其中，E[Rᵉi] 表示資產 i 的預期超額收益，εit 在時序上取平均，則 E(εit)=0。

補充理解：

從學術界角度出發，根據市場有效性理論，一個有效的資產組合應該是可抵消風險完全為 0，實際收益率等於預期收益率，且預期資產收益率只取決於市場的系統性風險，即 E[Rᵉi] = βi · λ，不存在超額收益率（Abnormal Return, AR），即 AR = Ri - E(Rᵉi) = 0。但現實的金融世界通常是市場非有效的，存在超額收益率，即 AR = α。

假設投資組合由 N 資產構成，並將每個資產 i 應的因子收益λ 按照不同因子展開，得到以下多因子模型的組合收益率：

Rp = ∑ᴺᵢ₌₁Wi(αi+∑ᴹⱼ₌₁βᵢⱼfᵢⱼ)

其中，Rp 為組合的超額收益，Wi是每份資產佔組合的權重，βij是每份資產在每個因子上的風險暴露，λ = ∑ᴹⱼ₌₁βᵢⱼfᵢⱼ\)，fᵢⱼ 是每份資產的每個因子每單位因子載荷對應的因子收益率。

結合統計學知識，該模型隱含三層假設：

1. 每個資產的 Beta 收益和 Alpha 收益不相關：Cov(αi,βiλ)=0

2. 不同資產間的特質收益率也不相關：Cov(αi,αj)=0

3. 因子一定和資產收益率有關：Cov(Rᵉi,βiλ)≠0

對於 Beta 收益和 Alpha 收益的綜合解釋：

結合具體的金融市場，βiλ 是歸屬於大盤整體表現的 Beta收益，αi則是由資產自身特定帶來的Alpha收益，即跑贏大盤多少個點。而每個資產的收益率則是由 Beta 收益和Alpha收益組成，人們可利用多因子模型中每個資產對應的αi值來對每個資產打分或賦予權重，從而構造投資組合，並利用期貨對Beta收益部分做空來對沖風險，從而獲得Alpha收益。

（2）多因子模型的波動率

構造投資組合時需在組合的風險和收益間取平衡，需要將以上模型轉化為帶約束的規劃問題來求解。組合的風險即組合的波動率 σ²p，以下對σ²p進行推導。涉及組合構建的詳細分析則在“風險組合優化”部分闡述。

基於公式 (3) 的矩陣表達式 Rp = W(β ∧ + α)，可得到組合的波動率：

其中，W是資產的權重矩陣，β是因子的權重矩陣，表示N個資產在 K個風險因子上的因子載荷矩陣N×K：

∧ 表示  K 個因子的因子收益率協方差矩陣 K×K ：

由假設 3，不同資產間的特質收益率也不相關，可得Δ 矩陣為：